গণিত বিষয়ে সম্পূর্ণ ধারণা

                 
আমরা এই পোষ্টের মাধ্যমে আপনাকে গণিত বিষয়ে সম্পূর্ণ ধারণা দেওয়ার চেষ্টা করবো। আমরা জানি এখন সবাই হয়তো বই নিয়ে বসে পড়ার সময় টা হয় না। কিন্তু ফেসবুক ব্যস্ত থাকেন । তাদের জন্য আমাদের এই পোস্ট । এই পোস্টে আমরা গণিত বিষয়ে সম্পূর্ণ ধারণা দেওয়ার চেষ্টা করেছি। আমাদের মনে হয় এই পোস্টটি মনোযোগের সাথে পড়লে আপনি অবশ্যই গণিত বিষয়ের এর ধারণা পেতে পারেন।

গণিতের প্রাথমিক বিষয়ের আলোচনা

★ ক্যালকুলাসের আদি ধারণা দেন কে?

নিউটন।

★ সংখ্যাতত্ত্বের জনক কে?

পিথাগোরাস।

★ জ্যামিতির জনক কে?

ইউক্লিড।

★ রোমান M প্রতিকের অর্থ কি?

1000.


সংখ্যা পদ্ধতি

★ শুন্যসংখ্যার আদি ধারণ কাদের? ভারতীয়।

★ ৬ অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? ৮৯৯৯৯৯। (999999-100000)

★ একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে p, q, r সংখ্যাটি কত? 100p+10q+r

★ ১, ২ ও ৩ দ্বারা গঠিত ৩ অংকের যতটি সংখ্যা লেখা যায় তাদের সমস্টি কত? ১৩৩২।

★ দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অংকদ্বয়ের গুনফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩। সংখ্যাটির সাথে ১৮ যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত? ২৪। [একক স্থানীয় মান-x , দশক স্থানীয় মান-y সংখ্যাটি 10x+y ধরে করতে হবে]

★ ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে কয়টি? ১২টি। [যে কোন সংখ্যার ল.সা.গু করে সুচকে পরিনত করতে হয়]

★ যদি n এবং p দুটি অযুগ্ন সংখ্যা হয়,. তবে যুগ্ন সংখ্যা? n+p. [দুইটি অযুগ্ন সংখ্যার যোগফলই যুগ্ন সংখ্যা]

★ ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? ১০টি। [যে সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা বা ১ ব্যতিত ভাগ করা যায় না]

★ √5 সংখ্যাটি কি সংখ্যা? অমুলদ । [পূর্ণবর্গ নয় এমন যে কোন সংখ্যাই অমুলদ সংখ্যা]

আর্ন্তজাতিক গনণা পদ্ধতি

★ ৯ কোটিতে কত মিলিয়ন হয়? ৯০ মিলিয়ন। [১০ মিলিয়নে ১কোটি]

★ ১ ট্রিলিয়ন কত কোটি ? ১লক্ষ কোটি। 105×107 .

★ বিবিয়ানা গ্যাস ফিল্ডে ১০ ট্রিলিয়ন ঘনফুট গ্যাস মজুদ আছে। প্রতি বছর ১ লক্ষ মিলিয়ন ঘনফুট হারে উত্তোলন করা হলে কত বছরে এই ফিল্ড নিঃশেষ হবে? 100 বছরে। [১০ ট্রিলিয়ন =১০০ লক্ষ মিলিয়ন]

পরিমাপ ও এ্কক সম্পর্কে

★ আন্তর্জাতিক একক পদ্ধতি চালু হয় কত সালে? ১৯৬০ সালে।

★ ১ কিমি সমান কত মাইল? 0.৬২ মাইল।

★ ১ নোটিক্যাল মাইলে কত মিটার? 1১৮৫৩.২৮ মিটার।

★ সমুদ্রের পানির গভীরতা মাপার একক? ফ্যাদম।

★ ১.৫ ইঞ্চি ১ ফুটের কত অংশ? ১/৮ অংশ।

★ ৩৩২ গজ ১মাইলের কত অংশ? ১/৫ অংশ। [যেখানে ১মাইল = ১৭৬০ গজ।

ক্ষেত্র সম্পর্কিত

★ এক বর্গ কিলোমিটার কত একর? ২৪৭ একর।

★ একটি জমির পরিমান ৫ কাঠা হলে, তা কত বর্গফুট হবে? ৩৬০০ বর্গফুট।

★ এক বর্গ ইঞ্চিতে কত বর্গ সেন্টিমিটার? ৬.৪৫ সেন্টিমিটার।

আয়তন সম্পর্কিত

★ ১ঘন মিটার = কত লিটার? ১০০০ লিটার।

★ ৩ লিটার পানির ওজন কত? ৩ কেজি।

★ এক গ্যালনে কয় লিটার ? ৪.৫৫ লিটার।

ভর সম্পর্কিত

★ ১ সের সমান কত কেজি? ০.৯৩ কেজি।

★ ১ মনে কত কত? ৩৭.৩২ কেজি।

★ ১ টনে কত কেজি? ১০০০ কেজি।

★ ১ কেজিতে কত পাউন্ড ২.২১ আইবিএস বা পাউন্ড।

★ ১০ কুইন্টালে কত কেজি? ১ কেজি।

দশের সূচকের নাম

★ এক ন্যানো মিটার সমান? 10-9 .

★ 20573.4 মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম? 0.0205734 .

★ একটি যোগ করতে কম্পিউটার ৫০ ন্যানো সেকেন্ড সময় লাগলে ১ সেকেন্ডে কতটি যোগ করতে পারবে? ২ কোটি।

ল.সা.গু

★ কত জন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি কলা সমান ভাবে ভাগ করে দেয়া যায়? ৫জনকে। (দুটিকে লসাগু করে)

★ পাঁচটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮, ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কত পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? ১৪ মিনিট। (ল.সা.গু করে ৬০ দিয়ে ভাগ)

★ কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫,. ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগ করলে ভাগশেষ প্রত্যেক বার ৩ থাকবে? ৬৩। (ল.সা.গু করে ৩ যোগ করে)

★ দুটি সংখ্যার গুন ফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সাগু কত? ১৬ । (ভাগ করে)

★ একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের টাকা পেছনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে? ৬০ মিটার। (লসাগুর সাথে ১০ গুন)


পাটিগণিতের সূত্র

◕ যোগফল ও গড় নির্ণয়ের সূত্র

❉ ধারার পদসংখ্যা= {(শেষপদ-১ম পদ)÷ প্রতিপদের পার্থক্য}

❉ ধারার যোগফল={( ১ম পদ+শেষপদ)× পদসংখ্যা}÷২

❉ ধারার গড়=( ১ম পদ+শেষপদ)÷২



◕ ক্ষেএফল নির্ণয়ের সূত্র

❉ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য×প্রস্থ) বর্গ একক

❉ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

❉ সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি×উচ্চতা (বর্গ একক)

❉ বর্গের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² (বর্গ একক)

❉ বর্গক্ষেত্রর পরিসীমা = ৪ ×বাহুর দৈর্ঘ্য

❉ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= বর্গ একক

❉ আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = (দৈর্ঘ×প্রস্থ×উচ্চতা) ঘন একক

❉ ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (ভূমি×উচ্চতা) বর্গ একক

❉ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল=১/২(a+b)×h [aওb সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ও hউচ্চতা]

❉ ঘনকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল=6

❉ আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল=২(ab×bc×ca) [aদৈর্ঘ্য, bপ্রস্থ, c উচ্চতা]

❉ বৃত্তের পরিধি=২πr,

❉ বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² = 22/7r² {এখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ r}

❉ চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ ×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)×উচ্চতা



◕ দৈর্ঘ্য পরিমাপ

❉ ১ কি.মি = ১০০০ মিটার

❉ ১ কি.মি = ১০ হেক্টোমিটার

❉ ১ কি.মি. = ০.৬২ মাইল

❉ ১ হেক্টোমিটার = ১০ ডেকা মিটার

❉ ১ ডেকা মিটার = ১০ মিটার

❉ ১ মিটার = ১০ ডেসিমিটার

❉ ১ মিটার = ১০০ মিটার

❉ ১ মিটার = ১০০০ মি.মি

❉ ১ ডেসিমিটার = ১০ সেন্টিমিটার

❉ ১ সেন্টিমিটার = ১০ মিলি মিটার

❉ ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার

❉ ১২ ইঞ্চি = ১ফুট

❉ ৩ ফুট =১ গজ

❉ ১৭৬০ গজ = ১মাইল

❉ ১ মাইল = ১.৬১ কি.মি.

❉ ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)

❉ ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি=১ বর্গ ফুট

❉ ১ মাইল = ১৭৬০ গজ

❉ ১ নটিক্যাল মাইল = ১৮৫৩.১৮ মিটার

❉ ১ ফ্যাদম = ৬ ফুট (পানির গভীরতা পরিমাপের একক)

❉ ১০০ বর্গ মি = ১ একর

❉ ১০০ শতক =১ একর

❉ ৪৮৪০ বর্গ গজ=১ একর

❉ ১ বর্গ মাইল=৬৪০ একর

❉ ১ একর = ৪০৪৬.৮৬ বর্গ মি



◕ ল,সা,ণ্ড ও গ.সা.ণ্ড - এর নিয়ম

❉ ভগ্নাংশের ল,সা,ণ্ড = লবণ্ডলোর ল,সা,ণ্ড ÷ হরণ্ডলোর গ,সা,ণ্ড

❉ ভগ্নাংশের গ,সা,ণ্ড = লবণ্ডলোর গ,সা,ণ্ড ÷ হরণ্ডলোর ল,সা,ণ্ড

❉ দুটি সংখ্যার ণ্ডনফল = সংখ্যা দুটির ল,সা,ণ্ড × গ,সা,ণ্ড

❉ ল,সা,ণ্ড = সংখ্যা দুটির ণ্ডনফল ÷ গ,সা,ণ্ড

❉ গ,সা,ণ্ড = সংখ্যা দুটির ণ্ডনফল ÷ ল,সা,ণ্ড

❉ একটি সংখ্যা = (ল,সা,ণ্ড × গ,সা,ণ্ড) ÷ প্রদত্ত সংখ্যা



◕ তরল ও কঠিন পদার্থ পরিমাপের একক

❉ ১০০০ মিলিগ্যাম = ১ গ্যাম

❉ ১০০০ গ্যাম = ১ কিলোগ্যাম

❉ ১০০০ গ্যাম = ২.২ পাউন্ড

❉ ১০০ কিলোগ্যাম= ১ কুইন্টাল

❉ ১০ কুইন্টাল = ১ মেট্রিক টন

❉ ১০ কুইন্টাল = ১০০০ কিলোগ্যাম

❉ ১ শর্ট টন = ২২৪০ পাউন্ড

❉ ১ লিটার = 1000 mili litter

❉ ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে:মি:(শুধু ৪ ডিগ্রী তাপমাত্রার পানি পরিমাপের ক্ষেত্রে)

❉ ১ ব্যারেল = ১৫৯ লিটার (প্রায়)

❉ ১ ব্যারেল =৩৪.৯৭২৬ গ্যালেন

❉ ১ গ্যালেন = ৪.৫৪৬ লিটার (প্রায়)

❉ ১ ক্যারেট = ২ গ্যাম (ক্যারেট মূল্যবান পাথর ও রত্নের ওজন পরিমাপের একক)

❉ ১ ভরি = ১৬ আনা

❉ ১০০কেজি=১ কুইন্টাল



◕ জায়গা-জমি পরিমাপ

❉ ১ এয়র = ১০০ বর্গ মি

❉ ১ হেক্টর = ১০০ এয়র

❉ ১ হেক্টর = ১০০০ বর্গ সেন্টিমিটার

❉ ১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)

❉ ১ বর্গ মিটার = ১০০ বর্গ ডেসিমিটার

❉ ১ বর্গ মিটার = ১০০০ বর্গ সেন্টিমিটার

❉ ১ বর্গ মি টার = ১০.৭৬ বর্গফুট (প্রায়)

❉ ১ একর = ৪৮৪০ বর্গগজ

❉ ১ একর = ১০ বর্গ চেইন

❉ ১ একর = ৩ বিঘা ৮ ছটক

❉ ১ বিঘা = ২০ কাটা

❉ ১ বিঘা = ১ বর্গরশি

❉ ১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ

❉ ১ কাটা = ৮০ বর্গগজ

❉ ১ কাটা = ১৬ ছটক

❉ ১ ছটক = ৫ বর্গগজ

❉ ১ বর্গগজ = ৫ বর্গফুট

❉ ১ বর্গফুট = ১৪৪ বর্গইঞ্চি

❉ ১ চেইন = ২২ গজ

❉ ১ বর্গচেইন = ৪৮৪ বর্গগজ

বীজগণিতের সূত্র

◕ বর্গ নির্ণয়ের সূত্র

❉(a + b)² = a² + 2ab + b²

❉(a – b)² = a² – 2ab + b²

❉(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)



◕ মান নির্ণয়ের সূত্র

❉a² + b² = (a + b)² – 2ab

❉a² + b² = (a – b)² + 2ab

❉(a + b)² = (a – b)² + 4ab

❉(a – b)² = (a + b)² – 4ab

❉4ab = (a + b)² -(a – b)²

❉ab = {(a + b)/2}² – {(a – b)/2}²

❉2(a² + b²) = (a + b)² + (a – b)²

❉(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

❉a² + b² + c² =(a + b+ c)² –2(ab + bc + ca)




◕ ঘন নির্ণয়ের সূত্র

❉a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

❉a³ -b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

❉(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

❉(a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

❉a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

❉a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab (a – b)

❉(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)



◕ সেট ও বাস্তব সংখ্যা

❉সেট বুঝাতে = {}

❉ফাকা সেট= {}

❉সার্বিক সেট= U

❉সংযোগ সেট বুঝাতে= A

❉ছেদ সেট বুঝাতে= A

ত্রিকোনমিতির সূত্র


❉ sin(A + B) = sinA.cosB + cisA.sinB
❉ sin(A - B) = sinA.cosB - cisA.sinB
❉ cos(A + B) = cosA.cosB - sinA.sinB
❉ cos(A - B) = cosA.cosB + sinA.sinB
❉ tan(A + B) = tanA + tanB1 - tanA.tanB
❉ tan(A - B) = tanA - tanB1 + tanA.tanB
❉ cot(A + B) = cotA.cotB - 1cotA + cotB
❉ cot(A - B) = cotA.cotB + 1cotB - cotA
❉ sin(A + B).sin(A - B) = sin2A - sin2B = cos2B - cos2A
❉ cos(A + B).cos(A - B) = cos2A - sin2B = cos2B - sin2A


জ্যামিতির সূত্র


◕ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল

❉ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি×উচ্চতা)

❉ সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)

❉ সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু

❉ সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √ (3/4)a² ; এখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য



◕ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল

❉ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

❉ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²

❉ সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা

❉ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)

❉ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর পরিমাণ



◕ বৃত্তের ক্ষেত্রফল

❉ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² [এখানে, r বৃত্তের ব্যাসার্ধ; π = ৩.১৪১৬

❉ বৃত্তের পরিধি = ২πr গোলকের আয়তন = 4/3πr³


গণিতের বেসিক থেকে কিছু প্রশ্ন প্রায় সব চাকরির পরীক্ষায় থাকে ভালো করে লক্ষ্য রাখুন।

১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?

— ৬ সমকোণ

২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি

— ৭২০ ডিগ্রি

৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়

— ৯গুন

৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে

— অন্ত:কেন্দ্র

৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ–

–৯০ ডিগ্রী



১.তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকল ত্রিভুজ আঁকা যায় তাদের বলে

— সদৃশ ত্রিভুজ

2.ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি

–দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম

৩.কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে , ত্রিভুজটি

— সমদ্বিবাহু

৪. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে ?

— প্রবৃদ্ধ কোণ

৫.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দু,টি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি

–১৮০ ডিগ্রি



১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?

— ৬ সমকোণ

২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি

— ৭২০ ডিগ্রি

৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়

— ৯গুন

৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ড যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে

— অন্ত:কেন্দ্র

৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ–

–৯০ ডিগ্রী



১৷জ্যা’ শব্দের অর্থ কি?

=ভূমি

২৷ দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?

=সম্পূরক কোণ

৩৷ একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে

=দুই সমকোণ (১৮০°)


৫৷ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?

=৯০°

৬৷ সম্পূরক কোণের মান কত?

=১৮০°

১. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি

— ৩৬০ ডিগ্রী

২.সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে, অতিভুজের মান কত?

— ৫ সে.মি

৩.সামন্তরিকের বিপরীত কোণের অর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয়–পরস্পর সমান্তরাল

৪. একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে , বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?

–৪:১

৫.রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ

— ৯০ ডিগ্রী

+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-

※ পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়?

=পরিধি

※ বৃত্তের পরিধির সূত্র

=2πr

※পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয়

=চাপ

※পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ সরলরেখাকে বলা হয়

=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)

※ বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই

=ব্যাস

※ কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা হয়

=ব্যাসার্ধ



বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ

※একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে কোন বৃত্ত আকা যায়না।

※দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।

※একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলা হয়।

※বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।

※বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।

※বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

※বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।

※বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

※বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

※কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হবে।

※অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।




»বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:

»বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr² ( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

»গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²

»গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)

১৷ সর্বপ্রথম সেট তত্ত্বের ধারণা দেন =জর্জ ক্যান্টর

২৷ ভেনচিত্র কে আবিষ্কার করেন =জনভেন

৩৷ একক সেটের উপাদান সংখ্যা =১টি

৪৷ সেটকে প্রকাশ করার কয়টি পদ্ধতি আছে =২টি

৫৷ : ” দ্বারা কি বোঝায় =যেন




গণিতের Father:

১. সংখ্যাতত্ত্ব—- পিথাগোরাস

২. জ্যামিতি——ইউক্লিড

৩. ক্যালকুলাস —– নিউটন

৪. ম্যাট্রিক্স ——– কেইসে

৫. ত্রিকোণমিতি—— হিপ্পারচাস

৬. পাটিগণিত—— আর্যভট্র

৭. বীজগণিত ——- মুসা আল খারিজমী

৮. লগারিদম——জন নেপিয়ার

৯. সেটতত্ত্ব——–জর্জ ক্যান্টর

১০. আলগরিদম——-ব্রহ্মগুপ্ত


( সংখ্যা নির্ণয় সুত্র )

------------সুত্র------------

সুত্র ১:
( যখন ১ হতে শুরু) যোগফল S = শেষ সংখ্যার অর্ধেক *(শেষ সংখ্যা +১)

যেমন:
১ হতে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফল কত?
যোগফল S = শেষ সংখ্যার অর্ধেক × (শেষ সংখ্যা +১)
= ৫০×১০১ [এখানে শেষ সংখ্যা ১০০]
= ৫০৫০ (উত্তর)


সুত্র ২:
ক্রমিক ( যখন ১ হতে ভিন্ন) সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সুত্র

যেমন:
৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সূত্র: যোগফল = ( ১হতে ৩৫ পর্যন্ত যোগফল) - (১ হতে ৪ পর্যন্ত যোগফল)

= ৩৫/২×৩৬-২×৫ [ পূর্বের সূত্রানুসারে তবে এখানে দুটি অংশ ]
= ৬৩০-১০
=৬২০

বি .দ্র = ৫ হতে ৩৫ পর্যন্ত যোগফল বের করতে বলেছে তাই ১ হতে ৩৫ পর্যন্ত যোগফল বেব করে তা হতে ১ হতে ৪ পর্যন্ত যোগফল ( ৫ এর পূর্ব সংখ্যা হল ৪) বাদ দেওয়া হয়েছে ।

সুত্র ৩:
ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল S = (মধ্যসংখ্যা)২ [যেখানে মধ্যসংখ্যা=(১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা)/২

উদা:
১+৩+৫+.........+২১=?
মধ্যসংখ্যা=(১+২১)/২=১১
যোগফল S=(মধ্যসংখ্যা)২
=(১১)২
=১২১(উত্তর)


সুত্র ৪:
ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল S = মধ্যসংখ্যা×(মধ্যসংখ্যা-১)

উদা:
২+৪+৬+..............+১০০=?
যোগফল=মধ্যসংখ্যা×(মধ্যসংখ্যা-১)
মধ্যসংখ্যা = (২+১০০)/২
=৫১

Sum=৫১×৫০
=২৫৫০
------------সংখ্যা নির্ণয়------------

টাইপ-১
এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা একটি সংখ্যা হতে যত বড় অপর একটি সংখ্যা হতে তত ছোট। (৩০তম বিসিএস)
অথ্যাত্ দুটি সংখ্যা দেওয়া থাকবে অপর একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।

টেকনিক:
নির্ণেয় সংখ্যাটি=(১ম সংখ্যা+ ২য় সংখ্যা)/২

উদা: একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ থেকে তত ছোট । সংখ্যাটি কত?
উত্তর: সংখ্যাটি=(৩০১+৩৮১)/২
=৩৪১

-------
টাইপ-২
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকবে সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করতে হবে।(২৬ তম বিসিএস)

টেকনিক:
ছোট সংখ্যা=(বর্গের অন্তর-১)/২
বড় সংখ্যা =ছোট সংখ্যা +১

উদা: দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন , যাদের বর্গের অন্তর ৪৭।
উত্তর:
ছোট সংখ্যা=(৪৭-১)/২ =২৩
বড় সংখ্যা=২৩+১ =২৪
উত্তর; সংখ্যা দুইটি ২৩,২৪

-------
টাইপ-৩
কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে আরেকটি সংখ্যা যোগ করলে যোগফল আবার ৩/৪ টি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম /৩০তম বিসিএস)

টেকনিক:
নির্ণেয় সংখ্যা= প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর ল.সা.গু -- যা যোগ করতে বলা হবে (মনে রাখা ভালো: যা যোগ করতে বলবে তা ল.সা.গু থেকে বিয়োগ করতে হবে)

উদা: কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাহে ৩ যোগ করলে ২৪,৩৬, ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম বি.সি.এস)

উত্তর:
২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু=১৪৪
নিণেয় সংখ্যা= ১৪৪-৩=১৪১
------------------------


টাইপ-১
পরপর ১০টি সংখ্যা দেয়া আছে, ১ম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?

টেকনিক:

প্রথম যে কয়টির যোগফল দেয়া থাকবে + যে কয়টি সংখ্যার বের করতে হবে তার বর্গ শেষ ৫টির যোগফল=১ম পাঁচটির যোগফল + ৫^2
= ৫৬০ + 25
= ৫৮৫

টাইপ-২
পরপর ৬টি সংখ্যা দেয়া আছে, শেষ ৩টির যোগফল ৩৬ হলে, প্রথম ৩টির যোগফল কত?

টেকনিক:

শেষ যে কয়টির যোগফল দেয়া থাকবে ---যে কয়টি সংখ্যার বের করতে হবে তার বর্গ
প্রথম ৩টির যোগফল=১ম ৩টির যোগফল - 3^2)
উত্তর: ৩৬-৩^২
=36-9
= ২৭
মনে রাখুন : ১ম পাঁচটি /তিনটি চাইলে যোগ (+) আর শেষের চাইলে বিয়োগ (-)



সুদকষা সূত্র

◕ সূত্র-১

❉ যখন মুলধন, সময় এবং সুদের হার সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন সুদ ¸
মুনাফা = (মুলধন ´সময় ´ সুদের হার) / ১০০

প্রশ্নঃ ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?
সমাধানঃ সুদ ¸ মুনাফা = (৬০০´ ২ ´ ৯.৫) ¸
১০০= ১১৪ টাকা


◕ সূত্র-2

❉ যখন সুদ, মুলধন এবং সুদের হার দেওয়া
থাকে তখন—সময় = (সুদ ´ ১০০) ¸ (মুলধন ´সুদের হার)
প্রশ্নঃ ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার
মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
সমাধানঃ
সময়= (১০০ ´১০০) ¸ (৫০০ ´ ৫)= ৪ বছর

◕ সূত্র-3

❉ যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার
উল্লেখ থাকে তখন—সময় = (সুদেমূলে
যতগুণ — ১) ¸ সুদের হার ´ ১০০
প্রশ্নঃ বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার
সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে
দ্বিগুণ হবে?
সমাধানঃসময় = (২—১) ¸১০ ´ ১০০ = ১০ বছর

◕ সূত্র-4

❉ যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ
থাকে তখন সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ —১) ¸ সময়´ ১০০
প্রশ্নঃ সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা
হলে, যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে
তিনগুণ হবে?
সমাধানঃ সুদের হার =
(৩— ১) ¸ ৮ ´ ১০০ =২৫%

◕ সূত্র-5

❉ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

❉ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²

❉ সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা

❉ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)

❉ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর পরিমাণ

শতকরা সূত্র


◕ ক্রয়মূল্য-বিক্রয়মূল্য

❉ ক্রয়মূল্য=বিক্রয়মূল্য-লাভ
❉ ক্রয়মূল্য=বিক্রয়মূল্য+ক্ষতি
❉ বিক্রয়মূল্য= ক্রয়মূল্য+লাভ
❉ বিক্রয়মূল্য= ক্রয়মূল্য–ক্ষতি
❉ লাভ=বিক্রয়মূল্য– ক্রয়মূল্য
❉ ক্ষতি= ক্রয়মূল্য–বিক্রয়মূল্য


◕ কৌশলগত সুত্র–১

❉ ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে–[লাভের হার উল্লেখ থাকলে]; ‎ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)


একজন বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস বিক্রি করেন। যে মূল্যে তিনি জিনিসটি বিক্রি করলেন,তার চেয়ে ৩০টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যে তার উপর ২৫% লাভ হত। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার) = (১০০ x ৩০)/ (১২.৫ + ২৫) = ৮০ টাকা



◕ কৌশলগত সুত্র–2

❉ ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যেরক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে]; ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)

একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয়২০% ক্ষতি হল। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধানঃ ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার) = (১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০) = ৭০০ টাকা



◕ কৌশলগত সুত্র–3

❉ লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে– ক্রয়মূল্য =(১০০ x বিক্রয়মূল্য)/(১০০ + লাভের শতকরা হার)

একটি ছাগল ২৭৬ টাকায় বিক্রি হওয়ায় ১৫% লাভ হয়। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার) =(১০০ x ২৭৬)/(১০০ + ১৫) = ২৪০ টাকা



◕ কৌশলগত সুত্র–4

❉ লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে – ‎বিক্রয়মূল্য ={মোট লাভ(১০০ + লাভের হার)}/লাভের হার

একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করেন। মোট ২৮০ টাকা লাভ হলে জিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} /লাভের হার = {২৮০ (১০০ + ৩৫)} /৩৫= ১০৮০ টাকা


◕ কৌশলগত সুত্র–5

❉ সংখ্যাযুক্ত পণ্যের ক্রয়মূল্য বিক্রয়ের ক্ষেত্র, শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রীত সংখ্যা।

অংকঃ ৮টি কমলার ক্রয়মূল্য ৬ টি কমলার বিক্রয়মূল্যের সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধানঃশতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা – নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রীত সংখ্যা। = (৮ -৬) x ১০০ / ৬ = ৩৩.৩৩%

লাভ-ক্ষতি সূত্র


◕ কৌশলগত সুত্র

❉ সরল সুদ = (আসল x সুদের হার x সময়) / ১০০

❉ আসল = (১০০ x মোট সুদ) / (সুদের হার x সময়)

অংকে সুদাসল দেয়া থাকলে
❉ আসল = (১০০ x সুদাসল) / (সময় x হার + ১০০)

❉ সুদের হার = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সময়)

❉ সময় = (১০০ x মোট সুদ) / (আসল x সুদের হার)

চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে,

❉ সুদাসল = আসল (১ + সুদের হার/১০০)বছর


( শতকরা হিসাব )

শতকরার কিছু কমন সমস্যা প্রায় আসে, এর মাঝে কিছু সমস্যা সহজে স্বল্প সময়ে সমাধানের টেকনিক দেয়া হল --


টাইপ ১ঃ (যদি দাম বাড়ে)

চালের দাম যদি ৪০% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?

টেকনিকঃ
কমানো % = (100 × r) / (100 + r) (দাম বাড়লে ফর্মুলায় প্লাস ব্যাবহার হয়েছে)
এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100 + 40)
= 28.57%


টাইপ ২ঃ (যদি দাম কমে)

চালের দাম যদি ৪০% কমে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত বাড়ালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?

টেকনিকঃ
বাড়ানো % = (100 × r)/(100- r) (দাম কমলে ফর্মুলায় মাইনাস ব্যাবহার হয়েছে)
এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100- 40)
= 66.66%


টাইপ ৩ঃ (যদি r এর মান ২০% দেয়া থাকে তবে বাড়ুক কমুক যে টাইপ সমস্যাই দেয়া হোক না কেন চোখ বন্ধ করে উত্তর হবে ২৫%, আর ২৫% দেয়া থাকলে উত্তর হবে ২০% )

‪‎উদাহরণ ১ঃ
চালের দাম যদি 25% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
উত্তরঃ 20%

যদি ২৫% কমে দেওয়া থাকে তাহলে উত্তর হবে ৩৩.৩৩%

‪‎উদাহরণ ২ঃ
চালের দাম যদি 20% বেড়ে যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
উত্তরঃ 25%

-----------------------


সূত্রঃ-১
মূল্য বৃদ্ধি পাওয়া ব্যবহার কমানোর ক্ষেত্রে

ব্যবহার হ্রাসের_হার = (১০০ X মূল্য বৃদ্ধির হার) ÷ (১০০ + মূল্য বৃদ্ধির হার)

উদাহারণঃ যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

সমাধানঃ ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২৫) ÷ (১০০ +২৫)
= ২০%


সূত্রঃ -২
মূল্য হ্রাস পাওয়া ব্যবহার বাড়ানোর ক্ষেত্রে

ব্যবহার_বৃদ্ধির_হার = (১০০ X মূল্য হ্রাসের হার) ÷ (১০০ - মূল্য বৃদ্ধির হার)

উদাহারণঃ
কাপড়ের মূল্য ২০% কমে গেল। কোন ব্যক্তির খরচ বৃদ্ধি না করেও কাপড়ের ব্যবহার শতকরা কত বৃদ্ধি করতে পারে?

সমাধানঃ ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২০) ÷ (১০০ - ২০)
= ২৫%


সূত্রঃ ৩
দুটি সংখ্যার শতকরা হারের তুলনার ক্ষেত্রে

শতকরা কম /বেশি= (১০০ X শতকরা কম বা বেশি) ÷ (১০০ + শতকরা কম বা বেশি)

উদাহারণঃ ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা কত টাকা কম?

সমাধানঃ শতকরা কম বা বেশি = (১০০ X ৩৫) ÷ (১০০ + ৩৫)
= ২৫.৯৩%


সূত্রঃ ৪
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার বৃদ্ধি পাওয়া

দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = ( বৃদ্ধির প্রাপ্ত মূল্যে হার X মোট মূল্য) ÷ (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য কম হয়েছে )

উদাহরণঃ চিনির মূল্য ৬% বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকায় পূর্বে যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩ কেজি চিনি কম কেনা যায়! চিনির বর্তমান দর কেজি প্রতি কত?

সমাধানঃ দ্রব্যের বর্তমান মূল্য= (৬ X ১০৬০) ÷ (১০০ X ৩)
= ২১.২০ টাকা


সূত্রঃ ৫
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়ায়

দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট মূল্য)÷(১০০ + যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে)

উদাহরণঃ চালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চালের দাম কত?

সমাধানঃ দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০)÷(১০০ X ১)
= ৭২০ টাকা (উঃ)


সূত্রঃ ৬
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস-বৃদ্ধির ক্ষেত্রে

হ্রাসের_হার =(বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার)÷১০০

উদাহরণঃ চিনির মূল্য ২০% কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০% বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়বে বা কমবে?

সমাধানঃ হ্রাসের হার = (২০ X ২০)÷১০০
= ৪% (উঃ)


সূত্রঃ ‪৭
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে মূল্যের শতকরা হ্রাস বের করতে হলে –

‪‎শতকরা মূল্য হ্রাস‬ = ( অনুপাতের বিয়োগফল ) X ( ১০০ ÷ অনুপাতের প্রথম সংখ্যা )

‪‎উদাহরণঃ
মাসুদের‬ আয় ও ব্যয় এর অনুপাত ২০:১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?

‪সমাধানঃ
শতকরা‬ মূল্য হার = (২০-১৫) X (১০০÷২০)
= ২৫%(উঃ)

ল.সা.গু

> কত জন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি কলা সমান ভাবে ভাগ করে দেয়া যায়? ৫জনকে। (দুটিকে লসাগু করে)

> পাঁচটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮, ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কত পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? ১৪ মিনিট। (ল.সা.গু করে ৬০ দিয়ে ভাগ)

> কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫,. ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগ করলে ভাগশেষ প্রত্যেক বার ৩ থাকবে? ৬৩। (ল.সা.গু করে ৩ যোগ করে)

> দুটি সংখ্যার গুন ফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সাগু কত? ১৬ । (ভাগ করে)

> একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের টাকা পেছনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে? ৬০ মিটার। (লসাগুর সাথে ১০ গুন)


লসাগু ও গসাগু


দুইটি সংখ্যার গুনফল=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু।

বা,একটি সংখ্যা*অপর সংখ্যা=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু


১।দুইটি সংখ্যার গুনফল ১৫৩৬।সংখ্যা দুইটির লসাগু ৯৬ হলে গসাগু কত?
ক।১৬
খ।২৪
গ।৩২
ঘ।১২

সমাধানঃ
দুইটি সংখ্যার গুনফল=সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু
বা,সংখ্যা দুইটির লসাগু*গসাগু= দুইটি সংখ্যার গুনফল
বা,গসাগু= দুইটি সংখ্যার গুনফল/ সংখ্যা দুইটির লসাগু
বা,গসাগু=১৫৩৬/৯৬
বা,গসাগু=১৬
সঠিক উওর ক।

লসাগু নির্ণয়ঃ


২।৪ ও ৬ এর লসাগু কত?
ক.২৪
খ.১৬
গ.১৮
ঘ.১২

সমাধানঃ
লসাগু এর ক্ষেত্রে (লসাগু / যে সংখ্যাসমূহের লসাগু) করে দেখতে হবে। সব কয়টি অপশন ভাগ করে ভাগফল পূর্নসংখ্যা ও ছোট হবে সেটিই হবে সঠিক উওর।

ক এর মান যাচাই
২৪/৪=৬
২৪/৬=৪

খ এর মান যাচাই
১৬/৪=৪
১৬/৬=২.৬৬
পূর্নসংখ্যা নয়।তাই
খ সঠিক উওর নয়।

গ এর মান যাচাই
১৮/৪=৪.৫
১৮/৬=৩
পূর্নসংখ্যা নয়।তাই
গ সঠিক উওর নয়।

ঘ এর মান যাচাই
১২/৪=৩
১২/৬=২
ক ও ঘ উভয় ভাগফল পূর্নসংখ্যা এবং ক এর ভাগফল এর চেয়ে ঘ এর ভাগফল ছোট। তাই ঘ সঠিক উওর ।


গসাগু নির্ণয়ঃ


৩।১২ ও ১৬ এর গসাগু কত?
ক.২ খ.৩ গ.৬ ঘ.৪

সমাধানঃ
গসাগু এর ক্ষেত্রে (যে সংখ্যাসমূহের গসাগু /গসাগু) করে দেখতে হবে। সব কয়টি অপশন ভাগ করে ভাগফল পূর্নসংখ্যা ও ছোট হবে সেটিই হবে সঠিক উওর।

ক এর মান যাচাই
১২/২=৬
১৬/২=৮

খ এর মান যাচাই
১২/৩=৪
১৬/৩=৫.৩৩

গ এর মান যাচাই
১২/৬=২
১৬/৬=২.৬৬

ঘ এর মান যাচাই
১২/৪=৩
১৬/৪=৪

ক ও ঘ উভয় ভাগফল পূর্নসংখ্যা এবং ক এর ভাগফল এর চেয়ে ঘ এর ভাগফল ছোট। তাই ঘ সঠিক উওর ।

১.৯ দিয়ে বিভাজ্য ৩ অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩। তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে, মধ্যম অঙ্কটি কত?
ক.৬
খ.৭
গ.৮
ঘ.৯
উত্তর: খ = ৭

‪#‎ব্যাখ্যা:‬‬
৯ এর নামতা পড়লে আসে ৯, ১৮, ২৭, ৩৬,,,, ৭২ যেখানে দেখুন প্রতিবার অঙ্ক (প্রতিটি ডিজিট) এর যোগফলকে ৯ দ্বারা ভাগ করা যাচ্ছে। এখন প্রশ্নে ৩*৮ এখানে ৩ ও ৮ এর যোগফল ১১ তাহলে ১১+৭ = ১৮যা ৯ দ্বারা ভাগ করা যায় সুতরাং ৩৭৮ সংখ্যাটিও ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

2.কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন্ বহি:স্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত হবে?
ক.১৮০
খ.২৭০
গ.৩৬০
ঘ.৫৪০


‪#‎মুখস্থ থাকলে সরাসরি উত্তর: ৩৬০ degree‬‬

#ব্যাখ্যা:
একটি বহি:স্থ কোণ হল অন্তস্থ বিপরীত কোণ দ্বয়ের সমষ্টির সমান: তাই তিনটি বহিস্থ কোণ = সবগুলো অন্তস্থ কোন দুবার করে। আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণ = ১৮০ তাহলে তার দ্বিগুণ ( কোণ) = ৩৬০

দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৩ : ২ হলে, বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

ক. ২:৩
খ. ৯:৪
গ. ৪: ৯
ঘ.৬:৪

#ব্যাখ্যা:
একাধিক বৃত্তের ব্যাস অথবা ব্যাসার্ধের অনুপাত দেয়া থাকলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হয় প্রদত্ত অনুপাতের বর্গের সমান। তাই এখানে ৩:২ = ৯:৪


১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

ক.৩৪ সেমি.
খ.২৮ সেমি.
গ. ১৮ সেমি.
ঘ. ২৪ সেমি.

#ব্যাখ্যা :
চিত্র অংকন করলে দেখা যাবে বৃত্তের ভেতের যে সমকোণী ত্রিভুজ অংকিত হবে তাতে অতিভূজ (বৃত্তের ব্যাসার্ধ) = ১৩ এবং লম্ব (কেন্দ্র থেকে জ্যা এর দূরত্ব) = ৫ তাহলে সমকোণী ত্রিভুজের কোণ গুলোর অনুপাত অনুযায়ী ভূমি (অর্ধ জ্যা) হবে =১২ পুরা জ্যা হবে ১২+১২ = ২৪


একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
ক.৩২
খ.৪২
গ.৪৮
ঘ.৩৮

উত্তর: খ

#ব্যাখ্যা:
সমকোণ বাদে অন্য কোণ দুটির যোগফল হল ৯০ degree এবং বিয়োগ ফল হল ৬ তাহলে ক্ষুদ্রতম

ত্রিকোণমিতি

বিসিএস - ত্রিকোণমিতি নিয়ে পর্ব

প্রশ্নঃ Sin θ = Cos θ হলে θ এর মান কত? Ans: ৪৫°

প্রশ্নঃ Sin 105° এর মান হবে- Ans: ১/৪ (√৬ + √২)

প্রশ্নঃ sin 1260° = ? Ans: 0 Labels:

প্রশ্নঃ কোনটি সঠিক উত্তর? Ans: sin 1° = sin 179°

প্রশ্নঃ Sin θ এর সর্বনিম্ন মান কত? Ans: ০

প্রশ্নঃ tan-11/2 + tan-11/2Ans: Π/4 প্রশ্নঃ মান নির্নয় করুন: tan15° + tan75° + tan105° + tan165°? Ans: 0

প্রশ্নঃ সমাধান করুনঃ tan2θ-(1+√3)tanθ+√3 = 0Ans: θ = 45°, 60°

প্রশ্নঃ একটি ৪৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে । খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল? Ans: ১৬ মিটার

প্রশ্নঃ ১৮ ফুট উচু একটি খুঁটি ভেঙ্গে গেল যে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটি মাটি হতে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল? Ans: ৬ ফুট

প্রশ্নঃ একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত? Ans: ৩০

প্রশ্নঃ একটি বাড়ি ৪০ ফুট উচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা? Ans: ৪১ ফুট

প্রশ্নঃ একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১৫ মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৮ মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ কত? Ans: ১৯ মিটার

প্রশ্নঃ একটি ঘুড়ি ভূমি থেকে ৫৫ মিটার উপরে উড়ছে, যার সুতা ভূমির সাথে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে। সুতার দৈর্ঘ্য কত? Ans: ১২৭/২ মিটার

প্রশ্নঃ একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ৩০° হলে মিনারটির উচ্চতা কত? Ans: ২০/√৩ মিটার

প্রশ্নঃ একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে ১০ মিটার দূরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ ৬০° হলে গাছটির উচ্চতা কত? Ans: ১৭.৩২ মিটার


ত্রিকোনোমিতির সব অংক মাত্র ৫টি টেকনিকেই করে ফেলুন


সুত্র - ১ : শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30°হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনে রাখুন উচ্চতা= [পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]

উদাহরন : একটি মিনাররের পাদদেশ হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধানঃ উচ্চতা =[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]
=20/√3(উঃ)


সুত্র - ২ : শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60 হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনে রাখুন উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]

উদাহরনঃএকটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন 60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করুন?
অথবাঃ সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান : উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
=10√3=17.13(উঃ)
(মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)
(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60°হলে গুন হবে)


সুত্র ৩ :সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভুমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-কত উঁচুতে ভেংগে ছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)

উদাহরন : একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিলো ?

সমাধান :

কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিলো =(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)=48÷3=16(উঃ)


সুত্র 4: সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভূমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে- ( শর্ট_টেকনিক : কতউঁচুতে ভেংগে ছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)

‪‎উদাহরন‬: 18ফুট উচু একটি খুটি এমন ভাবে ভেংগে গেলো যে ভাংগা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোনে স্পর্শ করলো। খুটিটি মাটি থেকে কতফুট উঁচুতে ভেংগে গিয়েছিলো?

‪সমাধান‬: কত উঁচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
=(18÷3) =6ফুট (উঃ)
‬‬‬‬‬‬

সুত্রঃ5- যখন মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে লাগানো থাকে তখন- ( শর্ট_টেকনিকঃ (মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²

উদাহরন: একটি 50মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে।মইয়ের একপ্রান্তে মাটি হতে 40মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের লম্ব দুরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

(মইয়ের উচ্চতা)² =(দেয়ালের উচ্চতা)² +(দেয়ালের দুরত্ব)²
বা, (দেয়ালের দুরত্ব)² =(মইয়ের উচ্চতা)² –(দেয়ালের উচ্চতা)²
বা, দেয়ালের দুরত্ব= √(50)² – √(40)²
=10মিটার (উঃ)

[লক্ষ করুনঃ উপরের এই ৫নং সুত্রের মাধ্যেমেই ‘মইয়ের উচ্চতা’ ‘দেয়ালেরউচ্চতা’ ও ‘দেয়ালের দুরত্ব’ প্রশ্নে যাই বলে সব কয়টি শুধু প্রক্ষান্তর করে ( প্রশ্নানুযায়ী ডান থেকে বামে সরিয়ে) নির্নয় করতে


( অনুপাতের মিশ্রণ )


টেকনিক -১
মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি একই হয় তখন -

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য।

উদা: ৩০লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত হবে ৩:৭।

লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই (৭-৩=৪) একই ।

অতএব, সূত্র মতে নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ={(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/অনুপাতের ছোট সংখ্যা)}X অনুপাতের পার্থক্য।
বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(৩০/৩) X ৪
=৪০লিটার । (উত্তর)


টেকনিক -২
মিশ্রণে যখন দুইটি অনুপাতের সংখ্যা দু্ইটির পার্থক্য যদি ভিন্ন হয় তখন

নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )

উদা: ২৫ গ্রাম একটি সোনার গহনায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১। গহনাটিতে আর কতটুকু সোনা যোগ করলে এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:১ হবে?

লক্ষ্য করুন: এখানে অনুপাতের অন্তর উভয় ক্ষেত্রেই ভিন্ন। যেমন: ৪-১=৩ আবার ৫-১=৪।
অতএব , সূত্র মতে নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ=(মোট মিশ্রণের পরিমাণ/১মঅনুপাতের সংখ্যা দুটির যোগফল। )
বা, নতুন মিশ্রিত দ্রব্যের পরিমাণ= ২৫/(৪+১)
=৫ (উত্তর)


নিজে নিজে করুন (১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬)

১। ৩২ লিটার অকটেন- পেট্রোল মিশ্রেনে , পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ৫:৩। এতে আর কত অকটনে মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত হবে ৪:৫? ।

২। ২১লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৪ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৪ হবে?

৩। ৪২গ্রাম ওজনের একটি গয়নায় সোনা ও তামার অনুপাত ৪:৩ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৫:৩ হবে?

৪। ৩০লিটার পরিমাণ এসিড ও পানির অনুপাত ৭:৩ । ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ৩:৭ হবে?

৫। একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম ।সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ । এতে কত সোনা মিশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৪:১ হবে?

৬। ৬০লিটার পরিমাণ কেরোসিন ও পেট্রোল মিশ্রেনে অনুপাত ৭ :৩। এ মিশ্রণে কি পরিমাণ পেট্রোল মিশ্রিত করলে কেরোসিন ও পেট্রোল অনুপাত হবে ৩:৭ হবে?


উত্তর:
১/ ৪
২/ ৭
৩/ ৬
৪/ ৪০
৫/ ৪
৬/ ৮০


( পরিমাপের অংক)


পরিমাপের অংকগুলো মাত্র ৪টি টেকনিকে (উদাহরন সহ) আলোচনাঃ

সুত্রঃ1- দৈর্ঘ্যর বৃদ্ধির হার প্রস্থের হ্রাসের চেয়ে বেশী হলে-

‪টেকনিকঃ‬
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার=[{(100+বৃদ্ধির হার)×(100-হ্রাসের হার)}÷100]-100

‪প্রশ্নঃএকটি‬ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 20% বাড়ালে এবং প্রস্থ 10% কমালে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

‪‎সমাধানঃ‬
=[{(100 + বৃদ্ধির হার)×(100 -হ্রাসের হার)}÷100]-100
=[{(100+20)×(100-10)}÷100]-100
={(120×90)÷100}-100
=(10800÷100) - 100=108-100
=8% বাড়বে(উঃ)

=========

সুত্রঃ2-দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির হার প্রস্থের হ্রাসের সমান বা কম হলে-

‪টেকনিকঃ‬
ক্ষেত্রফল‬ হ্রাস =100 - [{(100+বৃদ্ধির হার)×(100- হ্রাসের হার) }÷100]

প্রশ্নঃএকটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 20% বাড়ালে এবং প্রস্থ 20% কমালে তার আয়তন কত?

সমাধানঃ
100 - [{(100+20)×(100-20)}÷100]
=100-[{(120×80)}÷100]
=100-(960÷100)
=100-96=4% কমবে(উঃ)

=========

সুত্রঃ3-যখন শুধু বৃদ্ধির হারের কথা উল্লেখ থাকে-

টেকনিক‬
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি={(100+বৃদ্ধির হার)÷100}²-100

প্রশ্নঃএকটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য শতকরা 50% বৃদ্ধি করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধানঃ
={(100+50)/10}²-100
={(150)/(10)}²-100
=(15)²-100
=225-100=225-100
=125% (উঃ)

=========

সুত্রঃ4-আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুন এবং ক্ষেত্রফল দেয়া থাকলে- ( দৈর্ঘ্য/প্রস্থ/পরিসীমা ) বের করতে-

‪টেকনিকঃ‬
‪‎দৈর্ঘ্য‬=√(ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুন)
‪প্রস্থ‬ =√ (ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুন)
‪‎পরিসীমা‬=2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

প্রশ্নঃএকটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুন। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধানঃ
*দৈর্ঘ্য=√ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুন
=√(512×2)=32
*প্রস্থ =√ ক্ষেত্রফল×দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুন
=√(512÷2)=16
*পরিসীমা=2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)
=2×(32+16)=2×48=96(উঃ)

=======

শুধু মাত্র ১টি সুত্র মনে রাখলেই, মাত্র ১৫-২০ সেকেন্ডের মধ্যেই ঘড়ির, ঘন্টা ও মিনিট এর কাটার মধ্যেবর্তী কোনের দূরত্বের নির্নয়

‪টেকনিকঃ‬
(11×M - 6O×H)÷2
এখানে
M=মিনিট
H=ঘন্টা

উদাহরনঃ‬ যদি ঘড়িতে ২ টা ৪০ মিনিট হয়, তবে ঘণ্টার কাটা ও মিনিটের কাটা কত ডিগ্রি কোন উৎপন্ন করে।

‪সূত্র‬: (11 × M – 6O × H)÷2,
(এখানে M এর স্থানে মিনিট ও H এর স্থানে ঘন্টা বসাতে হবে)

সমাধানঃ(11 × 40–60×2)÷2
= 160(উঃ)

[বিঃদ্রঃযদি কোনের মান 180° অতিক্রম করে(অর্থাৎ 180 ° চেয়ে বেশি হয়)তবে প্রাপ্ত মানকে ৩৬০ থেকে বিয়োগ করে কোন এর মান নির্নয় করতে হবে]

বর্গের‬‬‬‬ সর্বমোট ৪টি সুত্র আছে

সুত্রঃ বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

টেকনিকঃ বড়‬‬‬‬ সংখ্যা=(বর্গের অন্তর+1)÷2

‪প্রশ্নঃ দুইটি‬‬‬‬ ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 47 হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?
‪সমাধানঃ‬‬‬‬ বড়সংখ্যা=(47+1)/2=24


------১


‪সুত্রঃ দুইটি বর্গের অন্তর বা প্রার্থক্য দেওয়া থাকলে,ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

টেকনিকঃ ছোট‬‬‬‬ সংখ্যাটি=(বর্গের অন্তর -1)÷2


‎প্রশ্নঃ দুইটি‬‬‬‬ ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে?
‪সমাধানঃ ছোট‬‬‬‬ সংখ্যাটি =(33-1)÷2=16(উঃ)


------২


সুত্রঃ যত বড....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে-

‪টেকনিকঃ সংখ্যাটি‬‬‬‬=(প্রদত্ত সংখ্যা দুটির যোগফল)÷2

‪প্রশ্নঃ একটি‬‬‬‬ সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
‪সমাধানঃ সংখ্যাটি‬‬‬‬=(742+830)÷2=786 (উঃ)


------৩


সুত্রঃ দুইটি সংখ্যার গুনফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে অপর সংখ্যাটি নির্নয়ের ক্ষেত্রে-
‪
টেকনিকঃ সংখ্যা‬‬‬‬ দুটির গুনফল÷একটি সংখ্যা

‪প্রশ্নঃ 2টি‬‬‬‬ সংখ্যার গুনফল 2304 একটি সংখ্যা 96 হলে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধানঃ অপর‬‬‬‬ সংখ্যাটি=(2304÷96)=24 (উঃ)

------৪


মৌলিক সংখ্যা!!! মনে রাখার সহজ উপায়

পিএসসির বিভিন্ন নিয়োগ পরীক্ষায় এখান থেকে প্রশ্ন আসে ।


১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৫ টি

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (২,৩,৫,৭)

১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৪ টি (১১,১৩,১৭,১৯)

২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (২৩,২৯,)

৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৩১,৩৭)

৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৪১,৪৩,৪৭)

৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৫৩,৫৯)

৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি(৬১,৬৭)

৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০৩ টি (৭১,৭৩,৭৯)

৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০২ টি (৮৩,89)

৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ০১ টি(৯৭)

মনে রাখার সুবিধার্থে : ৪৪২২৩২২৩২১ ফোন নাম্বার হিসেবে মনে রাখুন।



ভগ্নাংশ, দশমিক ভগ্নাংশ, সরলীকরণ ও বর্গমূল

> কোন বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে লবকে হর দিয়ে ভাগ দিতে হয়।

> ভংগ্নাশকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে লব ছোট থাকতে হয়।

> ৭/১৭ এর হর ও লবের সঙ্গে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৫ হয়? ৮ [x ধরে মান বের করতে হবে]

> একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় থেকে এক বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি ২/৩ হয়। কিন্তু হর ও লব উভয়ের সঙ্গে ১ যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৪ হয়। ভগ্নাংশটি কত? ৫/৭ [প্রথম সমীকণে x/y ধরে ১ বিয়োগ এবং দ্বিতীয় সমীকরণে ১ যোগ করে সমাধান করতে হবে]

> ০.১ সংখ্যাটি ০.০০১ এর কতগুন বড়? ১০০ [বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ দিলেই হল]

> ০.৫ × ০.০০০৫ = ? ০.০০০২৫ [দুটি দশমিক সংখ্যার গুননে ০ বাড়ে না , অধিকের ক্ষেত্রে প্রতি দশমিকে এক ০ ]

> [৩.৭৫{৭.৮-২.৩-(১২.৭৫-৯.২৫)}] = ? ২.৫ [ধাপ: )-}-]-এর-ভাগ-গুনন-যোগ-বিয়োগ]

> ৩.০০০১০+৫×১০ এর উপর -৩ = ? ৩.০০০১০ [এখানে -৩ হল ১/৩ তাই বলা যায় ৫/৩। তাহলে ১০এর উপর ৩ মানে ১০০০। অতএব ৫/১০০০]

>-২+(-২)-{-(২)}-২ = ?
উত্তর= ৪

> ১ কে ১০০ বার ১ দিয়ে গুন করে গুনফলকে ১ দিয়ে ভাগ করে, ভাগফল থেকে ১ বিয়োগ করে, বিয়োগফলকে ১০০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে? উত্তর= ০।

> কোন পূর্ণ বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অংক ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯ হবে এবং শেষে বেজোড় হবে না।

> রোট ০.০০০০০৬২৫ = ? ০.০০২৫ [জোড়া দাগ দিয়ে বর্গ সংখ্যা নিচে, বামে বর্গমূল বসবে, এভাবে ডাবল হবে ভাজক, ভাজকের ডানে ভাগফলও ডানের মতোই বসবে]

> ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? ০.০১ [পূর্নবর্গ সংখ্যা একক স্থানীয় মান 2, ৩, ৭ বা ৮ হতে পারে না]

> ২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়। প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা? ১৪৪ [৪ বাদ দিয়ে ২০৭৩৬ কে বর্গে বাজাতে হবে, বেজোড় থাকলে প্রথম একটিকে (২)কে একটি ধরে]

> ৩রোট ১২৫×৮ = ? ১০ [১২৫ ও ৮ কে বর্গে ফেলে রোট ৩ কে ভ্যানিস করতে হয়]

> যত দাতা প্রত্যেক তত ১০ পয়সা দেয়াতে ২৫০ পয়সা হয়। দাতার সংখ্যা কত? ৫ [দাতা x হলে x এর ১০ পয়সা মানে xগুনন x10 পয়সা = ২৫০, সমাধার করে


সূত্রঃ ১ - ৯ ( সুদ / মুনাফা / মুলধন )

সূত্রঃ ১ যখন মুলধন, সময় এবং সুদের হার সংক্রান্ত মান দেওয়া থাকবে তখন-
সুদ / মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদেরহার) / ১০০

প্রশ্নঃ ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত?

সমাধানঃ সুদ / মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০ = ১১৪ টাকা


সূত্রঃ ২ যখন সুদ, মুলধন এবং সুদের হার দেওয়া থাকে তখন –
সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)

প্রশ্নঃ ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?

সমাধানঃ সময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫) = ৪ বছর


সূত্রঃ ৩ যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকে তখন –
সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x ১০০

প্রশ্নঃ বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?

সমাধানঃ সময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর


সূত্রঃ ৪ যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে তখন
সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০

প্রশ্নঃ সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধানঃ সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%


সূত্রঃ ৫ যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন
সুদের হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়)

প্রশ্নঃ শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের ৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?

সমাধানঃ সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা


সূত্রঃ ৬ যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া থাকে তখন –
সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x ১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়) }

প্রশ্নঃ সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০ টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?

সমাধানঃ সুদের হার = (৩২০x ১০০)/ {(২০০ x ৫) + (৫০০ x৬) } = ৮ টাকা


সূত্রঃ ৭ যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে- মূলে উল্লেখ থাকে-
মূলধন/আসল = (১০০ xসুদআসল) / {১০০ + (সময় x সুদের হার)}

প্রশ্নঃ বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে-আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?

সমাধানঃ মূলধন/আসল = (১০০ x১০৩৬) / {১০০ + (৬ x ৪৮)} = ৭০০ টাকা


সূত্রঃ ৮ যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)

প্রশ্নঃ শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬ বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?

সমাধানঃ মূলধন = (৮৪ x ১০০)/ (৬x ৪) = ৩৫০ টাকা


সূত্রঃ ৯ যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও আয় কমে যায় তখন,
আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ / {(১ম সুদেরহার – ২য় সুদের হার) xসময়}

প্রশ্নঃ সুদের হার ৬% থেকে কমে ৪% হওয়ায় এক ব্যাক্তির বাতসরিক আয় ২০ টাকা কমে গেল। তার আসলের পরিমাণ কত?

সমাধানঃ আসল = ২০ x ১০০ / {(৬ – ৪) x১ = ১০০০


ক্যালকুলেটর ছাড়া অনুপাতের ভাগ করেবেন কিভাবে?


টেকনিক দেখুন

সমস্যা ১
৪৫০ কে ৫:৪ ভাগে ভাগ করুন।

টেকনিক
৪৫০ এর শুন্য বাদ দিন। ৪৫ হবে....তারপর অনুপাতের (৫+৪) করলে ৯হয়।

এখন ৪৫কে ৯দিয়ে ভাগ করে ৫ দিয়ে গুন করলে ২৫ হয়।
অপরদিকে, ৪৫ কে ৯ দিয়ে ভাগ করে ৪দিয়ে গুন করলে হয় ২০।
এখন ২৫ এর সাথে একটি শুন্য (০) এবং ২০ এর সাথে একটি শুন্য (০) বসিয়ে দিলেই--- কেল্লাফতে!!!!!

উত্তর হবে:- ২৫০:২০০।
এখনো না বুঝলে, আরেকবার পড়ুন।


সমস্যা ০২:
১০০০ কে ২:৩:৫ অনুপাতে ভাগ করুন ।

টেকনিক:
(সমস্যা:-১ এর মতই)
প্রথমে মনে মনে ১০০০ এর একটি শুন্য রেখে, বাকি দুইটা বাদ দিন। তারপর (২+৩+৫) করলে ১০ হবে।
১০ কে ১০ দিয়ে ভাগ,দুই দিয়ে গুন করলে ২ হবে।
১০ কে ১০ দিয়ে ভাগ,তিন দিয়ে গুন করলে ৩ হবে।
১০ কে ১০ দিয়ে ভাগ,পাঁচ দিয়ে গুন করলে ৫ হবে ।

[[ বলে রাখা ভাল, এখানে ১ম ১০ হলো ১০০০ থেকে দুটি শুন্য বাদ দেয়া ১০। আর ২য় ১০ হলো ২+৩+৫ যোগ করা ১০ ]]

এখন, ২,৩,৫ এর সাথে দুটি করে শুন্য (০) বসিয়ে দিলেই কাজ শেষ!!!